こんにちは。一条美月です。
数学には、直感だけではどうにも納得しにくいものが時々あります。
そのひとつがガブリエルのラッパ。
y＝1/x（x≧1）
という、とても単純な曲線をx軸のまわりに
回転させると、先端がどこまでも細く、
無限に伸びていくラッパのような立体ができます。
当然、無限に続いているのだから、
中身も無限に入りそうな気がしますよね。
ところが体積を計算すると、
V＝π∫₁^∞ 1/x² dx＝π
つまり、無限に長いのに体積は有限。
一方で表面積は、
A＝2π∫₁^∞ (1/x)√(1＋1/x⁴) dx
となり、
A＞2π∫₁^∞ 1/x dx＝∞
なので、こちらは無限大になります。
つまり中を満たすために必要な量は有限なのに、
表面を覆うために必要な量は無限。
同じひとつの立体なのに、
体積と表面積で「有限」と「無限」が
同居しているのが面白いところです🥹
ただ、よく考えると不思議な魔法が
起きているわけではなくて、
先へ進むほどラッパが細くなるところが
ポイントなんです。
最初知った時、体積が有限なことが直感的には
理解出来なくて……🥹
こういう面白く感じたものを他にも
書きたいのですが、いかんせん数式の入力が
日記では難しくて悩ましいところです💭
